ヒモを、方向を反転して半分ずつに折っていくと、最後には折り目が1/3の位置になるという不思議

その昔、不思議に思った話です。

紐を折りたたんでいるときに、紐の長さの半分のところに折り目を付け、次は折り目からその半分の長さを戻ったところに折り目を付け、次はその折り目からさらに半分の長さを進んだところに折り目を付け、… ということを繰り返すと、なんとなく最終的な折り目が紐の長さの1/3に収束することに気づきました。

折り目がはっきりとわかる紙テープで試したところ、確かに1/3の位置になります。それがなぜキリのよい1/3になるかという理由が当時はわかりませんでしたが、自分で発見した法則と思い込んで記憶に残り、ずっとその理由を知りたいと思っていました。

最近になってからやっと、紐の折り目の収束位置が1/3になることが無限級数の考え方によって理解できました。その理由は以下のとおりです。

紐の全長を1とすると、折り目の最終的な位置は、1/2進んで1/4戻って1/8進んで1/16戻って … を永遠に繰り返すことになるので、

1/2　-　1/4　+　1/8　-　1/16　+　1/32　-　1/64　+　…

のような無限級数として表現できます。

この式を、以下のようにカッコで括って、２つずつの項でペアを作ります。

( 1/2　-　1/4 )　+　( 1/8　-　1/16 )　+　( 1/32　-　1/64 )　+  …

これらのカッコの中を計算すると、

1/4　+　1/16　+　1/64　+　 …

のように、ブラスの符号のみの項の和で表現することができます。

この式の値は図の面積で考えると簡単に解けます。

つまり、面積が1の正方形を考え、その中に、上の式の中の 1/4, 1/16, 1/64, … を積み重ねて配置していくと下図のようになります。

これで最初の紐の命題は、これらの水色の部分が、外側の正方形の1/3になっているかどうか、という問題に帰着します。

そこで水色の部分を点線に対して対象に描くと、下図のピンク色の部分になり、残った部分は黄色の部分になります。

ピンク色の部分は水色の部分を点線に対して対象に描いたので水色の面積と同じになります。

また、水色の部分の各正方形を左隣に移動したものが黄色の部分になっているので、黄色も水色の面積と同じになります。

これで水色の部分は、外側の大きな正方形の1/3になっていることがわかります。

ここで最初の紐の話に戻って、紐を方向を反転しながら半分ずつの長さになるように折り目を付けていくと、最終的には折り目が紐の長さの1/3の位置に収束することが証明できました。やっとこの不思議な理由がわかり、長年のモヤモヤが払拭できました。

雅子さまの想い出

いまから20年以上も前のことですが、奈良県の明日香村で、雅子さまと皇太子様が田舎道を車に乗って通られるのを側で見たことがあります。

最初は興味本位で見に出かけたのですが、ほんの一瞬そのお姿を拝見しただけで、どんな人に対しても、ひとりひとりに丁寧に寄り添われる雅子さまの優しさを知ることができました。

私が雅子さまをお見かけしたのは、沿道ではなく、雅子さまを乗せた車が通る十字路で、ちょうど踏切を通過する電車を見るような位置関係でした。明日香村の田舎なので、通過される道も田舎道なら、それと交差する私がいた道もそれ以上に細い田舎道でした。そんなところでまでは警備の手も及ばず、警察やSPの姿は見当たりませんでした。見に来ていた人もほとんどいなくて、私達夫婦と、あと近所の人と思われる数人程度がうわさを聞いて駆けつけたような感じです。もちろん歓迎のための日の丸の旗を配るような人もいません。なのでいつ通過されるのかという情報も入ってこなかったのですが、その十字路に着いたらちょうど目の前を通過されたという良いタイミングでした。雅子さまは後部座席のこちら側に座っておられました。

お見かけしたのは一瞬の出来事でしたが、その時雅子さまは、私達を見るなり車のシートから背中を起こして、窓からお顔がよく見えるように前かがみになるくらいの姿勢で、数人しかいない私達に笑顔で手を振って下さったのです。特に私達がいたのは見通しの悪い四つ角で、そこにお車がさしかかるまでは私達の存在がわからなかったと思いますので、急に見つけた私達を見るやいなや、すぐに体を起こして反応して下さいました。そうすることで待っていた人たちが少しでも長い時間お会いすることができるようにして下さったのだと思います。そして田舎のまばらな人々を見るたびに、笑顔で手を振って丁寧に対応して頂いたのだと思います。

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時は過ぎて20年以上が経ち、つい最近も雅子さまを拝見しました。

とある会社の施設が近所にあり、そこに皇太子ご夫妻が招かれておられました。ご夫妻はそこでの見学が終わったあと、門の近くにいた大勢の人々に声をかけておられました。できれば今回も側まで行きたかったのですが、仕事が立て込んでいたので、失礼ながら自宅の窓から双眼鏡で拝見しました。

門の近くに集まっていたのは100人程度で、近所の人々か、今回のご訪問に関連する人々なのかは不明でしたが、ご夫妻はその人たちとお話をされていました。特に雅子さまも熱心にほとんどの人とお話をされ、長時間に及んでいました。園遊会で天皇陛下が一人ひとりにお話をされるようなことを、雅子さまが一般の人々に対して、一人ひとりの目線の高さに合わせてお話をされていたのです。これもまた雅子さまの優しさが感じられてとても印象深く感動的な光景でした。このような地方での出来事は報道されることもなく、広く一般には知れ渡らないことだと思いますが、そのようなところでも一人ひとりに丁寧に寄り添われる雅子さまの優しさに再び感動した次第です。そして雅子さまのような、本当に心優しいお方が皇太子妃であり、また次の皇后様になられることをとても嬉しく思っています。

大きな燃料ロケットを使わずに人工衛星を打ち上げる方法 （素人案）

テレビでロケットの噴射実験の様子を見て思ったのですが、ロケットの先端の小さな衛星を打ち上げるために、あんなに大きな胴体を作って、たくさんの燃料を使って、危険な思いをするのは大変だなぁ、宇宙エレベーターから衛星を軌道に「放り投げる」ようなスタイルは理想的だなぁと思って見ていました。

他に燃料ロケットを使わずに衛星を地上から打ち上げる方法を考えてみたのですが、ヒモの先に付いたものをぐるぐる振り回して遠くに飛ばすような（投石器のような？）方法で、それを縦方向に宇宙に向かって飛ばせないかと考えました。

　　　

ちょうど電子の加速器のような装置を力学的に使うようなイメージです。遊園地の観覧車のような方向に円運動をする装置で、端に衛星を取り付けたアームを図のようにモーターで回してどんどん加速していきます。そしてアームが、軌道付近まで放り投げられるような十分な角速度に達したら、地上に垂直な方向を向いたところで衛星をアームから切り離します。
すると衛星は重力と空気抵抗を受けながらどんどん減速して、放物運動の頂点のあたり（衛星の軌道付近）で、積んでいたわずかな燃料を噴射して軌道に乗せるために加速や姿勢制御を行う、というアイデアです。
衛星は空気抵抗による摩擦熱に耐えられるようなカプセルに入れて飛ばします。

意外に空気抵抗がクセモノかもしれません。思ったより空気抵抗が大きくて、どんなに頑張って加速しても空気抵抗によって軌道の高さまでは放り上げられないのかもしれないとも思います。

実現可能ならとっくに実用化されていそうですね。

それに、この方法では遠心力に耐えられないので人を乗せることはできません。

それに、とてつもない遠心力が発生するので、衛星自体が壊れてしまうかもしれません…

… やっぱり宇宙エレベーターですか。